• Kära studenter,

  • Observera att de tillhandahållna lösningarna är bara ett sätt att närma sig dessa frågor. Vi uppmuntrar er att se dem som en inspirationskälla. Medan de kan vägleda er förståelse, rekommenderar vi starkt att ni utvecklar era egna svar.
    • Originellt tänkande förstärker inte bara ert lärande utan hjälper er även att odla problemlösningsförmågor som är avgörande i er akademiska resa.
  • Lycka till med lärandet!
    

    ---

  • 1) Förenkla så långt som möjligt.
  • De matematiska uttrycken som ska förenklas är:
    • a) a³ • b² • c / (a • b² • c³)
    • b) (xy³ - y) / xy
    • c) (p² - q²) / (p + q)

• 1) Förenkla så långt som möjligt.
• De matematiska uttrycken som ska förenklas är:
  • a) a³ • b² • c / (a • b² • c³)
  • b) (xy³ - y) / xy
  • c) (p² - q²) / (p + q)

Svar

• Vi förenklar följande uttrycken genom att använda Kvotregeln för exponenter:
• a) a³b²c/ab²c³ förenklas till a²/c²
• b) xy³ - y/xy förenklas till y² - 1/x
• c) p² - q²/p + q förenklas till p - q

• 2) Lös ekvationen: (x + 5) • (2x-52) = 0

• 2) Lös ekvationen: (x + 5) • (2x-52) = 0

Svar

• För att lösa ekvationen (x+5)(2x-52) = 0, använder vi Nollproduktsregeln för produkten. En produkt är lika med noll om och endast om minst en av faktorerna är noll. Så vi ställer upp två ekvationer och löser dem var för sig:
• x + 5 = 0
• 2x - 52 = 0
• Lösning för den första ekvationen (x + 5 = 0):
• x + 5 = 0
• Subtrahera 5 från båda sidor:
• x = -5
• Lösning för den andra ekvationen (2x - 52 = 0):
• 2x - 52 = 0
• Lägg till 52 på båda sidor:
• 2x = 52
• Dela båda sidor med 2:
• x = 26
• Så ekvationen har två lösningar:
• x = -5 och x = 26.

• 3) Lös ekvationen -x⁴ - 8x³ + 20x² = 0

• 3) Lös ekvationen -x⁴ - 8x³ + 20x² = 0

Svar

• För att lösa ekvationen -x⁴ - 8x³ + 20x² = 0, kan vi först dra ut x² som en gemensam faktor:
• x²(-x² - 8x + 20) = 0
• Detta ger oss två separata lösningar att lösa för, x² = 0 och -x² - 8x + 20 = 0.
• För x² = 0 får vi x = 0 som en lösning.
• För att lösa -x² - 8x + 20 = 0, omformulerar vi den till x² + 8x - 20 = 0 genom att multiplicera hela ekvationen med -1, vilket gör det lättare att lösa:
• -1(-x² - 8x + 20) = 0
• x² + 8x - 20 = 0
• Vi kan sedan lösa Andragradsekvationen Genom Kvadratformeln, x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a).
• Här är a = 1, b = 8 och c = -20. Så vi får:
• x = [-8 ± √((8)² - 4(1)(-20))] / (2 • 1)
• x = [-8 ± √(64 + 80)] / 2
• x = [-8 ± √144] / 2
• x = [-8 ± 12] / 2
• x₂ = 2
• x₃ = -10
• Så de tre lösningarna till ekvationen är x₁ = 0, x₂ = 2 och x₃ = -10.

• 4) För vilka värden är inte uttrycket: x² - 25 / (10 + 2x) definierat?

• 4) För vilka värden är inte uttrycket: x² - 25 / (10 + 2x) definierat?

Svar

• Uttrycket (x² - 25) / (10 + 2x) är inte definierat när nämnaren är lika med noll, eftersom division med noll är odefinierad.
• För att hitta när nämnaren är noll, löser vi ekvationen:
• 10 + 2x = 0
• Subtrahera 10 från båda sidor:
• 2x = -10
• Dela båda sidor med 2:
• x = -5
• Så, uttrycket (x² - 25) / (10 + 2x) är inte definierat när x = -5.

• 5) Kol-14 har en halveringstid på 5730 år. Det betyder att efter 5730 år har hälften av kol-14 har fallit sönder och blivit ett annat ämne. Anta att man hittar ett fynd där halten kol-14 är 78,5% av ursprungliga värdet. Hur gammalt är fyndet?

• 5) Kol-14 har en halveringstid på 5730 år. Det betyder att efter 5730 år har hälften av kol-14 har fallit sönder och blivit ett annat ämne. Anta att man hittar ett fynd där halten kol-14 är 78,5% av ursprungliga värdet. Hur gammalt är fyndet?

Svar

• För att lösa denna fråga kan vi använda formeln för radioaktivt sönderfall, som är N = N0 • (1/2)^(t/T), där N är den kvarvarande mängden, N0 är den ursprungliga mängden, t är tiden som har gått, och T är halveringstiden.
• Där:
• N(t) är den nuvarande mängden kol-14 i fyndet (78,5% av ursprungliga mängden).
• N₀ är den ursprungliga mängden kol-14.
• t är tiden som har gått sedan fyndet bildades.
• T är halveringstiden för kol-14, som i det här fallet är 5730 år.
  • I formeln för radioaktivt sönderfall representerar N0 den ursprungliga mängden av det radioaktiva ämnet, i det här fallet kol-14. När vi utför beräkningar som den för att bestämma åldern på ett arkeologiskt fynd, är det faktiska värdet av N0 oftast okänt och behöver inte specificeras för att lösa problemet.
  • Istället används förhållandet mellan den nuvarande mängden kol-14 (N) och den ursprungliga mängden (N₀). I detta exempel är N 78,5% av N₀. Således, när vi sätter in värdena i formeln, använder vi förhållandet N/N₀ = 0,785 (78,5% uttryckt som en decimal), vilket eliminerar behovet av att känna till det exakta värdet av N₀.
  • Det är detta förhållande som är avgörande för att beräkna åldern på fyndet, inte det absoluta värdet av N₀.

• I detta fall vet vi att N/N₀ = 0.785 och T = 5730 år. Vi vill hitta t. Eftersom
• N är 78,5% av N₀, kan vi sätta in dessa värden och lösa för t. Låt mig göra beräkningen. Så vi kan omformulera formeln till:
• t = T • log(N / N0) / log(1/2)
• där:
• t är tiden som har gått (det vi vill beräkna).
• T är halveringstiden för kol-14, som är 5730 år.
• N är den nuvarande mängden kol-14 (78,5% av ursprungliga mängden).
• N₀ är den ursprungliga mängden kol-14.
• log är den naturliga logaritmen.
• Om vi beräknar detta får vi ungefär t ≃ 2001 år.
• Detta antyder att fyndet är cirka 2001 år gammalt, baserat på att halten av kol-14 är 78,5% av det ursprungliga värdet.

• 6) En linje går genom punkterna (1, 6) och (3, 14). Denna linje skär kurvan  i två punkter. Bestäm avståndet algebraiskt mellan dessa punkter (avståndsformeln finns i formelbladet).

• 6) En linje går genom punkterna (1, 6) och (3, 14). Denna linje skär kurvan  i två punkter. Bestäm avståndet algebraiskt mellan dessa punkter (avståndsformeln finns i formelbladet).

Svar

• Först behöver vi hitta lutningen (m) och y-skärningen (b) för linjen som går genom punkterna (1, 6) och (3, 14). Lutningen m kan hittas genom formeln m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (14 - 6) / (3 - 1) = 4.
• Y-skärningen b kan hittas genom formeln b = y - mx = 6 - 4 • 1 = 2.
• Så ekvationen för linjen är y = 4x + 2.
• Linjen skär kurvan y = x² - 3 i två punkter, vilket betyder att vi behöver lösa ekvationssystemet:
• y = 4x + 2
• y = x² - 3
• För att hitta x-värdena där linjen skär kurvan, sätter vi y-värdena lika med varandra:
• 4x + 2 = x² - 3
• x² - 4x - 5 = 0
• Detta är en Andragradsekvationen och kan lösas med Kvadratformeln:
• x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
• Här är a = 1, b = -4 och c = -5. Så:
• x = [-(-4) ± √((-4)² - 4(1)(-5))] / (2 • 1)
• x = [4 ± √(16 + 20)] / 2
• x = [4 ± √36] / 2
• x = [4 ± 6] / 2
• x = 5, -1
• Nu har vi x-värdena så kan vi lösa för y-värden:
• y = 4x + 2
  • y = 4 • 5+2 = 22
• y = x² - 3
  • y= -1² - 3 = -2
• Så de två punkterna där linjen skär kurvan är (5, 22) och (-1, -2).
• Avståndet mellan dessa två punkter kan hittas med avståndsformeln:
• d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
• d = √[(5 - (-1))² + (22 - (-2))²]
• d = √[(6)² + (24)²]
• d = √[36 + 576]
• d = √612
• d = 24.73 (avrundat till två decimaler)
• Så avståndet mellan de två punkterna där linjen skär kurvan är ungefär 24.73 enheter.