• Kära studenter,

  • Observera att de tillhandahållna lösningarna är bara ett sätt att närma sig dessa frågor. Vi uppmuntrar er att se dem som en inspirationskälla. Medan de kan vägleda er förståelse, rekommenderar vi starkt att ni utvecklar era egna svar.
    • Originellt tänkande förstärker inte bara ert lärande utan hjälper er även att odla problemlösningsförmågor som är avgörande i er akademiska resa.
  • Lycka till med lärandet!
    

    ---

  • 1) Grafen visar hur folkmängden i en stad förändrats från år 1980 till år 1990.

• 1) Grafen visar hur folkmängden i en stad förändrats från år 1980 till år 1990.

• Bestäm den genomsnittliga befolkningsändringen per år

1. från 1980 till 1985
2. från 1987 till 1990

Svar

• a) Från 1980 till 1985
  • Befolkningen 1980: 20,000 invånare
  • Befolkningen 1985: 40,000 invånare
  • Förändringen i befolkningen: 40,000 - 20,000 = 20,000 invånare
  • Antal år mellan 1980 och 1985: 1985 - 1980 = 5 år
  • Genomsnittlig årlig förändring = (Förändring i befolkningen) ÷ (Antal år)
  • Genomsnittlig årlig förändring = 20,000 ÷ 5 = 4,000 invånare per år
  • Det innebär att befolkningen ökade med 4,000 invånare per år mellan 1980 och 1985.
• b) Från 1987 till 1990
  • Nu ska vi göra samma beräkning för perioden från 1987 till 1990:
  • Befolkningen 1987: 30,000 invånare
  • Befolkningen 1990: 10,000 invånare
  • Förändringen i befolkningen: 10,000 - 30,000 = -20,000 invånare (eftersom befolkningen minskade)
  • Antal år mellan 1987 och 1990: 1990 - 1987 = 3 år
  • Genomsnittlig årlig förändring = (Förändring i befolkningen) ÷ (Antal år)
  • Genomsnittlig årlig förändring: (10,000 - 30,000) ÷ 3 = -20,000.
  • Genomsnittlig årlig förändring = -20,000 ÷ 3 ≈ -6,667 invånare per år
  • Det innebär att befolkningen minskade med ungefär 6,667 invånare per år mellan 1987 och 1990.

• 2) Kurvan: y = x³ - 2x² + 1 har en tangent i punkten (2; 1). Bestäm tangentens ekvation.

• 2) Kurvan: y = x³ - 2x² + 1 har en tangent i punkten (2; 1). Bestäm tangentens ekvation.

Svar

• Vi börjar med att ta derivatan av funktionen för att hitta lutningen (k) av tangenten:
• y' = 3x² - 4x
• Vi beräknar sedan lutningen i punkten x = 2:
• k = 3 • (2)² - 4 • 2
• k = 3•4 - 8
• k = 12 - 8
• k = 4
• Vi använder punkt-lutningsformen för en linje, där vi har punkten (2, 1) och lutningen 4:
• y - 1 = 4 • (x - 2)
• Vi löser ut y för att få ekvationen för tangenten:
• y = 4 • x - 8 + 1
• y = 4 • x - 7
• Så vi konstaterar att ekvationen för tangenten till kurvan vid punkten (2; 1) är y = 4x - 7.

• 3) Beräkna: f(x) = (x - x² - 3) ÷ x.

• 3) Beräkna: f(x) = (x - x² - 3) ÷ x.

Svar

• Vi börjar med att förenkla funktionen f(x) = (x - x² - 3) ÷ x.
• f(x) = (x ÷ x) – (x² ÷ x) – (3 ÷ x)
• f(x) = 1 - x - 3 • x⁻¹
• Nu tar vi derivatan av f(x):
• Derivatan av 1 är 0.
• Derivatan av -x är -1.
• Derivatan av -3 • x⁻¹ använder vi kraftregeln: -3•(-1) • x⁻² = 3 • x⁻².
• Så derivatan f'(x) blir:
• f'(x) = 0 - 1 + 3 • x⁻²
• f'(x) = -1 + 3 • x⁻²
• Vi beräknar f'(2):
• f'(2) = -1 + 3 • (2)⁻²
• (2)⁻² är samma som 1 ÷ (2²) = 1 ÷ 4.
• f'(2) = -1 + 3 ÷ 4
• Utför subtraktionen:
• f'(2) = -1 + 0.75
• f'(2) = -0.25
• Så, derivatan av f när x = 2, f'(2), är -0.25.

• 4) Beräkna följande gränsvärde: lim x→1 (x² - 1) / (x² - x)

• 4) Beräkna följande gränsvärde: lim x→1 (x² - 1) / (x² - x)

Svar

• Först faktoriserar vi täljaren och nämnaren.
• Täljaren x² - 1 är en skillnad mellan två kvadrater, vilket kan skrivas som (x + 1)•(x - 1).
• Nämnaren x² - x kan faktoriseras genom att ta ut x som en gemensam faktor, vilket ger oss x•(x - 1).
• Ersätt täljaren och nämnaren med deras faktoriserade former:
• (x² - 1) / (x² - x) blir (x + 1)•(x - 1) / x•(x - 1).
• Nu ser vi att (x - 1) finns i både täljaren och nämnaren. Vi kan stryka dessa:
• (x + 1)•(x - 1) / x•(x - 1) blir (x + 1) / x.
• Nu beräknar vi gränsvärdet av detta förenklade uttryck när x närmar sig 1:
• Ersätt x med 1 i (x + 1) / x: (1 + 1) / 1 = 2 / 1.
• Det slutliga svaret blir:
• Gränsvärdet av (x² - 1) / (x² - x) när x närmar sig 1 är 2.
• Så gränsvärdet av uttrycket när x närmar sig 1 är 2.

• 5) Bestäm ekvationen för den/de tangent/tangenter till kurvan: y = 2x³ - 3x² - 60x som har k-värdet 12. Grafisk lösning godtas ej.

• 5) Bestäm ekvationen för den/de tangent/tangenter till kurvan: y = 2x³ - 3x² - 60x som har k-värdet 12. Grafisk lösning godtas ej.

Svar

• För att bestämma ekvationerna för tangenterna till kurvan y = 2x³ - 3x² - 60x som har ett k-värde (lutning) på 12:
• Vi börjar med att ta derivatan av y. Det ger oss lutningen för eventuella tangenter:
• Derivatan blir: y' = 6x² - 6x - 60.
• Sedan sätter vi denna derivata till 12 och löser ekvationen för x:
• Sätt 6x² - 6x - 60 = 12.
• Ekvationen blir: 6x² - 6x - 72 = 0.
• Vi Löser denna ekvation för x ger oss de x-värden där tangentens lutning är 12. Lösningarna blir x = -3 och x = 4.
• Nu skapar vi tangenternas ekvationer för dessa x-värden:
• För x = -3:
  • Vi beräknar y-värdet vid x = -3 i ursprungskurvan.
  • Vi använder formeln y = kx + m för att hitta m, där k = 12.
  • Efter att ha beräknat m blir tangentens ekvation: y = 12x + 135.
• För x = 4:
  • Vi beräknar y-värdet vid x = 4 i ursprungskurvan.
  • Återigen använder vi formeln y = kx + m för att hitta m.
  • Efter att ha beräknat m blir tangentens ekvation: y = 12x - 208.
• Så, de två tangenterna till kurvan med lutningen 12 är y = 12x + 135 och y = 12x - 208.

• ---

  6) Beräkna med hjälp av derivatans h-definition f'(-4) om f(x) = 2x - x².

• ---

  6) Beräkna med hjälp av derivatans h-definition f'(-4) om f(x) = 2x - x².

Svar

• För att beräkna derivatan av en funktion f(x) med hjälp av derivatans h-definition använder vi formeln:
• Vi använder derivatans h-definition:
• f'(x) = lim(h →0) [(f(x + h) - f(x))/h]
• För funktionen f(x) = 2x - x², blir detta:
• f'(x) = lim(h →0) [(2(x + h) - (x + h)² - (2x - x²))/h]
• Detta förenklas till:
• f'(x) = lim(h →0) [(2x + 2h - x² - 2hx - h² - 2x + x²)/h]
• Sedan förenklar vi detta till:
• f'(x) = lim(h →0) [(2h - 2hx - h²)/h]
• Efter att ha delat varje term med h, får vi:
• f'(x) = lim(h →0) [2 - 2x - h]
• När h närmar sig 0, blir detta:
• f'(x) = 2 - 2x
• Så derivatan av funktionen f(x) = 2x - x² är f'(x) = 2 - 2x.
• För att beräkna f'(-4), sätter vi in -4 i stället för x i f'(x):
• f'(-4) = 2 - 2*(-4) = 2 + 8 = 10.
• Detta innebär att lutningen av tangenten till kurvan vid punkten där x är -4 är 10.