• Kära studenter,

  • Observera att de tillhandahållna lösningarna är bara ett sätt att närma sig dessa frågor. Vi uppmuntrar er att se dem som en inspirationskälla. Medan de kan vägleda er förståelse, rekommenderar vi starkt att ni utvecklar era egna svar.
    • Originellt tänkande förstärker inte bara ert lärande utan hjälper er även att odla problemlösningsförmågor som är avgörande i er akademiska resa.
  • Lycka till med lärandet!
    

    ---

  • 1)  Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = e⁻ˣ i den punkt på kurvan där x = 0.

• 1)  Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = e⁻ˣ i den punkt på kurvan där x = 0.

Svar

• Vi ska använda lutningsskärningsformen för att bestämma ekvationen för tangenten till kurvan y = e⁻ˣ i den punkt där x = 0.
• Först, hitta derivatan av den givna exponentialfunktionen y = e⁻ˣ för att hitta dess derivata f'(x):
• f(x) = e⁻ˣ
• Vi Använder kedjeregeln för att derivera e^u, där u är en funktion av x:
• f'(x) = -e⁻ˣ
• Nu har vi derivatan f'(x) = -e⁻ˣ.
  • "För att härleda derivatan av e^u, där u är en funktion av x, använder vi kedjeregeln. Kedjeregeln säger att om y = g(u) och u = f(x), då är derivatan av y med avseende på x given av produkten av derivatan av g med avseende på u och derivatan av u med avseende på x. Det kan skrivas som:
  • dy/dx = dy/du • du/dx
  • I fallet med y = e^u, där u är en funktion av x, är u = f(x), och g(u) = e^u.
  • Derivatan av g med avseende på u är dg/du = e^u.
  • Derivatan av u med avseende på x är du/dx = f'(x).
  • Därför kan vi använda kedjeregeln för att härleda derivatan av e^u:
  • dy/dx = dg/du • du/dx = e^u • f'(x)
  • Om vi har u = -x och f(x) = -x, då blir:
  • dy/dx = e^(-x) • (-1) = -e^(-x)
  • Det är därför derivatan av e^(-x) med avseende på x är -e^(-x). Jag använde kedjeregeln för att härleda detta i mitt svar."
• För att hitta ekvationen för tangenten i punkten där x = 0, behöver vi också veta värdet av f(0), vilket är värdet av ursprungsfunktionen y = e⁻ˣ vid x = 0:
• f(0) = e⁰ = 1
• Vi Använder nu den derivata och punkten (0, 1) i lutningsskärningsformen för en rät linje y = kx + m, där k är lutningen av tangenten och m är skärningspunkten med y-axeln (dvs. när x = 0).
• För att hitta lutningen (k), använd värdet av derivatan f'(x) vid x = 0:
• k = f'(0) = -e⁰ = -1
• Nu har vi värdet av k, som är -1.
• Nu kan vi använda punkten (0, 1) och lutningen k = -1 i lutningsskärningsformen för att hitta m:
• 1 = (-1) • 0 + m
• Så,
• m = 1
• Slutligen kan vi skriva ekvationen för tangenten till kurvan y = e⁻ˣ vid x = 0 i lutningsskärningsformen som:
• y = -x + 1

• 2) Temperaturen T °C i en fabriksugn ändras enligt formeln: T(x) = x² + 2x + 22 (0 ≤ x ≤ 20), där x = tiden i minuter.
• Uppskatta temperaturförändringen ℃⁄min efter 12 minuter, dvs T'(12) genom att beräkna ändringskvoten:
• ( T(12,001) - T(12) ) / 0,001

• 2) Temperaturen T °C i en fabriksugn ändras enligt formeln: T(x) = x² + 2x + 22 (0 ≤ x ≤ 20), där x = tiden i minuter.
• Uppskatta temperaturförändringen ℃⁄min efter 12 minuter, dvs T'(12) genom att beräkna ändringskvoten:
• ( T(12,001) - T(12) ) / 0,001

Svar

• För att uppskatta temperaturförändringen ℃⁄min efter 12 minuter, kan vi använda formeln för ändringskvoten:
• (T(12,001) - T(12)) / 0,001.
• Först kan vi beräkna T(12) genom att sätta in x = 12 i formeln T(x)=x²+2x+22:
• T(12) = 12² + 2 • 12 + 22
• T(12) = 144 + 24 + 22
• T(12) = 190
• Sedan kan vi beräkna T(12,001) genom att sätta in x = 12,001 i formeln:
• T(12,001) = 12,001² + 2 • 12,001 + 22
• T(12,001) ≈ 144,024 + 24,002 + 22
• T(12,001) ≈ 190,026
• Nu kan vi använda ändringskvoten för att uppskatta temperaturförändringen:
• (T(12,001)-T(12))/0,001 = (190,026 - 190)/0,001 ≈ 26 ℃⁄min
• Så uppskattningen av temperaturförändringen efter 12 minuter är cirka 26 ℃⁄min.

• 3) Antalet invånare i en by förändras enligt formeln:
• B(t) = 3900 • e^(0,05t), där t = antalet år efter 1980.
• Beräkna och förklara innebörden av B'(11).

• 3) Antalet invånare i en by förändras enligt formeln:
• B(t) = 3900 • e^(0,05t), där t = antalet år efter 1980.
• Beräkna och förklara innebörden av B'(11).

Svar

• För att beräkna B'(11) måste vi ta derivatan av funktionen B(t) = 3900 • e^(0.05t) med avseende på t. Detta kommer att ge oss hastigheten med vilken antalet invånare förändras vid tidpunkt t = 11 år efter 1980.
• För att ta derivatan av B(t) använder vi kedjeregeln. Kedjeregeln säger att om vi har en funktion f(g(t)), då är derivatan f'(g(t)) • g'(t). I detta fall är:
• f(u) = 3900 • e^(0.05u)
• g(t) = 0.05t
• Först beräknar vi derivatan av f(u) med avseende på u:
  
  • f'(u) = d/dx [3900 • e^(0.05u)] = 0.05 • 3900 • e^(0.05u)
• Nu beräknar vi derivatan av g(t) med avseende på t:
  
  • g'(t) = d/dt [0.05t] = 0.05
• Nu kan vi använda kedjeregeln för att beräkna B'(t):
  
  • B'(t) = f'(g(t)) • g'(t)
  • B'(t) = (0.05 • 3900 • e^(0.05 • t)) • 0.05
  • B'(t) = 195 • e^(0.05 • t)
• Nu vill vi beräkna B'(11), vilket är hastigheten med vilken antalet invånare förändras vid tidpunkt t = 11 år efter 1980:
  
  • B'(11) = 195 • e^(0.05 • 11)
  • B'(11) ≈ 195 • e^(0.55)
  • B'(11) ≈ 195 • 1.733253
  • B'(11) ≈ 337.562415
• Så B'(11) är ungefär 337.56 personer per år. Detta innebär att antalet invånare i byn ökar med ungefär 337.56 personer per år vid tidpunkt 11 år efter 1980 enligt den givna tillväxtformeln.

• ---

  4) Bestäm med central differenskvot f’(2) med 5 korrekta decimaler, då
• f(x) = 2x • 3^(-x)

• ---

  4) Bestäm med central differenskvot f’(2) med 5 korrekta decimaler, då
• f(x) = 2x • 3^(-x)

Svar

• Funktionen vi har är f(x) = 2x • 3^(-x). Vi vill hitta derivatan f'(2) med hjälp av central differenskvot.
• Central differenskvot är en metod för att uppskatta derivatan av en funktion. Den används när vi inte kan hitta derivatan direkt. Formeln för central differenskvot är:
• f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)
• där h är ett litet tal.
• Vi väljer h = 0.00001 för att få en noggrann approximation med 5 decimaler.
• Först beräknar vi f(x + h) genom att sätta in x + h = 2.00001 i funktionen f(x):
• f(2.00001) = 2 • 2.00001 • 3^(-2.00001)
• Sedan beräknar vi f(x - h) genom att sätta in x - h = 1.99999 i funktionen f(x):
• f(1.99999) = 2 • 1.99999 • 3^(-1.99999)
• Nu sätter vi in dessa värden i formeln för central differenskvot:
• f'(2) ≈ (f(2.00001) - f(1.99999)) / (2 • 0.00001)
• Detta ger oss den uppskattade derivatan f'(2) ≈ -0.26605.
• Så, med 5 korrekta decimaler, är f'(2) ≈ -0.26605.
• Detta är förändringshastigheten av funktionen f vid x = 2. Det innebär att för varje liten förändring i x kring 2, förändras f med ungefär -0.26605 gånger den förändringen.

• 5) Lös ekvationen 17^x-1 = e^2x+1. Svara både exakt och med tre gällande siffror.

• 5) Lös ekvationen 17^x-1 = e^2x+1. Svara både exakt och med tre gällande siffror.

Svar

• För att lösa denna ekvation, kan vi använda egenskapen att a^(b) = e^(b • ln(a)). Vi kan tillämpa detta på vänster sida av ekvationen:
• 17^(x-1) = e^(2x+1)
• e^((x-1) • ln(17)) = e^(2x+1)
• När baserna är lika, kan vi sätta exponenterna lika med varandra:
• (x-1) • ln(17) = 2x+1
• Vi kan lösa denna ekvation för x genom att samla alla termer med x på ena sidan och konstanterna på den andra:
• x • ln(17) - 2x = 1 + ln(17)
• x • (ln(17) - 2) = 1 + ln(17)
• x = (1 + ln(17)) / (ln(17) - 2)
• För att få en numerisk approximation av denna lösning, kan vi använda att ln(17) ≈ 2.83321. Sätter vi in detta får vi:
• x ≈ (1 + 2.83321) / (2.83321 - 2) = 3.83321 / 0.83321 ≈ 4.60
• Så den exakta lösningen är x = (1 + ln(17)) / (ln(17) - 2) och den approximativa lösningen med tre gällande siffror är x ≈ 4.60.

• 6) En termos fylls med hett kaffe och placeras direkt utomhus där temperaturen ligger kring noll grader. Temperaturen på kaffet avtar exponentiellt med tiden.
• Efter 4 timmar är temperaturen 76 °C och vid samma tidpunkt minskar temperaturen med hastigheten 4,1 °C per timme.

1. Vilken var temperaturen på kaffet då det hälldes i termosen?
2. Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55 °C. Hur lång tid efter att man hällt kaffet i termosen är det fortfarande drickbart?

Svar

1. a) Starttemperaturen på kaffet när det hälldes i termosen var ungefär 96,5 °C.
2. b) Kaffet är fortfarande drickbart i cirka 10,9 timmar efter att det hälldes i termosen.

• För att lösa detta problem använder vi en exponentiell temperaturnedgångsmodell, som är vanlig i termodynamik och värmeströmningsberäkningar. Modellen kan beskrivas enligt följande:
• T(t) = T0 • e^(-kt)
• Där:
  • T(t) är temperaturen vid tidpunkt t.
  • T0 är starttemperaturen (temperaturen när kaffet hälldes i termosen).
  • k är en konstant som beror på isoleringen och termosen.
  • t är tiden i timmar.
• För att lösa denna uppgift kan vi använda formeln för exponentiellt förfall, vilket är T(t) = T0 • e^(-kt), där T(t) är temperaturen vid tid t, T0 är initialtemperaturen, k är förfallsraten och t är tiden.
• a) Vi vet att efter 4 timmar är temperaturen 76 °C och vid samma tidpunkt minskar temperaturen med hastigheten 4,1 °C per timme. Detta ger oss två ekvationer:
  • 76 = T0 • e^(-4k)
  • 4,1 = T0 • k • e^(-4k)
  • Vi kan lösa detta system av ekvationer genom att dela den andra ekvationen med den första:
  • 4,1 / 76 = k
  • k ≈ 0.05395
  • Sedan sätter vi in k i den första ekvationen för att lösa för T0:
  • 76 = T0 • e^(-4 • 0.05395)
  • T0 ≈ 96,5 °C
  • Så temperaturen på kaffet då det hälldes i termosen var ungefär 96,5 °C.
• b) Vi vill hitta tiden t då T(t) = 55 °C. Vi sätter in värdena i formeln och löser för t:
  • 55 = 96,5 • e^(-0.05395t)
  • e^(-0.05395t) = 55 / 96,5
  • -0.05395t = ln(55 / 96,5)
  • t ≈ ln(96,5 / 55) / 0.05395 ≈ 10,9 timmar