• Kära studenter,

  • Observera att de tillhandahållna lösningarna är bara ett sätt att närma sig dessa frågor. Vi uppmuntrar er att se dem som en inspirationskälla. Medan de kan vägleda er förståelse, rekommenderar vi starkt att ni utvecklar era egna svar.
    • Originellt tänkande förstärker inte bara ert lärande utan hjälper er även att odla problemlösningsförmågor som är avgörande i er akademiska resa.
  • Lycka till med lärandet!
    

    ---

  • 1) Höjden uttryckt i meter för en fyrverkeriraket anges med: h(x) = 20x - 5x² + 2, där x=tiden i sekunder efter start.
  • Bestäm den genomsnittliga hastigheten från det att raketen startade till det ögonblick då höjden är som högst.

Svar

• För att bestämma den genomsnittliga hastigheten för fyrverkeriraketen från start till dess högsta punkt:
  
  • Vi börjar med funktionen för höjd: Vi har funktionen h(x) = 20x - 5x²+ 2, där x är tiden i sekunder efter start och h(x) är höjden i meter.
• Vi beräknar höjden vid olika tider:
  
  • För att hitta höjden vid start, beräknar vi h(0). När x = 0, blir h(0) = 200 - 50²+ 2 = 2 meter.
  • För att hitta den högsta höjden, behöver vi först hitta tiden då detta inträffar. Detta gör vi genom att hitta maxpunkten för h(x), vilket innebär att vi behöver derivera h(x) och sätta derivatan lika med noll för att hitta x.
  • Vi deriverar h(x): Derivatan av h(x) är h'(x) = 20 - 10x.
• Vi hittar tiden för högsta höjden: Vi sätter h'(x) = 0 och löser för x. Så 20 - 10x = 0, vilket ger x = 2 sekunder.
• Vi beräknar höjden vid den högsta punkten: Nu när vi vet att den högsta punkten inträffar vid 2 sekunder, beräknar vi h(2). När x = 2, blir h(2) = 202 - 52²+ 2 = 22 meter.
• Vi använder formeln för genomsnittlig hastighet: Nu när vi har höjden vid start (2 meter) och höjden vid den högsta punkten (22 meter), kan vi beräkna den genomsnittliga hastigheten. Formeln är (h(2) - h(0)) / (2 - 0).
• Vi beräknar genomsnittlig hastighet: Vi sätter in värdena i formeln: genomsnittlig hastighet = (22 - 2) / (2 - 0) = 20 / 2 = 10 meter per sekund.
• Den genomsnittliga hastigheten från det att raketen startade till dess högsta punkt 10 meter per sekund.

• 2) En kondensators laddning är Q(t) mätt i Coulomb vid tiden t sekunder efter att kondensatorn börjades laddas upp. Förklara med ord vad följande betyder.
• a) Q'(0) = 2,5
• b) Q(10) = 12
• c) Q'(50) = 0

Svar

• a) Q'(0) = 2,5
  • Detta betyder att förändringshastigheten av laddningen på kondensatorn vid tiden t = 0 sekunder är 2,5 Coulomb per sekund. Det är den initiala laddningshastigheten just när kondensatorn börjar laddas.
• b) Q(10) = 12
  • Detta betyder att laddningen på kondensatorn vid tiden t = 10 sekunder är 12 Coulomb. Det är den totala laddningen som har ackumulerats på kondensatorn efter 10 sekunder.

• c) Q'(50) = 0
  • Detta betyder att förändringshastigheten av laddningen på kondensatorn vid tiden t = 50 sekunder är 0 Coulomb per sekund. Det indikerar att vid den tiden, ökar inte laddningen längre; kondensatorn kan vara fulladdad, eller så är laddningsprocessen pausad eller stoppad.

• 3) Ange med hjälp av derivatan eventuella maximipunkter, minimipunkter och terrasspunkter till funktionen f(x) = 3x⁴ - 4x³. Rita därefter grafen.

Svar

• För att lösa denna uppgift, måste vi:
  
  • Derivera funktionen för att hitta dess förstaderivata.
  • Bestämma kritiska punkter genom att sätta derivatan till noll och lösa ekvationen.
  • Avgöra om dessa punkter är maximi-, minimi- eller terrasspunkter genom att undersöka teckenförändringar i derivatan.
  • Rita grafen till funktionen för att visualisera dess beteende och bekräfta våra resultat.
• Vi börjar med att derivera funktionen f(x).
• Förstaderivatan av funktionen f(x) = 3x⁴ - 4x³ är f'(x) = 12x³ - 12x².
• Nästa steg är att hitta kritiska punkter genom att sätta derivatan till noll och lösa denna ekvation för x. Vi gör det nu.
• De kritiska punkterna är x = 0 och x = 1.
• För att avgöra om dessa punkter är maximi-, minimi- eller terrasspunkter, behöver vi undersöka teckenförändringar i derivatan omkring dessa punkter eller använda andraderivatatestet. Vi kommer att göra detta för att fastställa vilken typ av punkter dessa är.
• Vid x = 0, är andraderivatan 0, vilket innebär att vi inte kan avgöra om det är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt med hjälp av andraderivatatestet. Vi behöver mer information för att avgöra denna punkt.
• Vid x = 1, är andraderivatan 12, vilket är större än noll. Det innebär att funktionen f(x) har en minimipunkt vid x = 1.
• För att avgöra naturen av kritiska punkten vid x = 0, kan vi antingen undersöka tecknen på förstaderivatan runt punkten eller titta på funktionens beteende nära denna punkt. Eftersom vi redan har använt derivatan för att hitta kritiska punkter, låt oss nu rita grafen för att visa funktionens beteende och bekräfta våra resultat.
• Sammanfattningsvis:
  • Vid x = 0 har vi en terrasspunkt.
  • Vid x = 1 har vi en minimipunkt.
  • Grafen för f(x) = 3x⁴ - 4x³ kommer att se ut som följer:
    • Den går igenom origo (0,0).
    • Den har en terrasspunkt eller plateau vid x = 0.
    • Den har en annan minimipunkt vid x = 1.

• Grafen visar funktionen f(x) = 3x⁴ - 4x³. De röda punkterna markerar de kritiska punkterna. Vid x = 0 kan vi se att grafen har en terrasspunkt eftersom kurvan planar ut men inte ändrar riktning. Vid x = 1, som vi tidigare fastställde, har vi en minimipunkt där grafen vänder och börjar öka igen.

• 4) Bestäm största och minsta värdet i intervallet 1 ≤ x ≤ 3 för funktionen f(x) = x² - x + 1.

Svar

• För att hitta största och minsta värdet för funktionen f(x) = x² - x + 1 inom intervallet 1 ≤ x ≤ 3, kan vi använda oss av derivatan.
• Först tar vi derivatan av funktionen:
• f'(x) = 2x – 1
  • Vi använder reglerna för derivator för att ta derivatan av funktionen f(x) = x² - x + 1.
  • Vi använder potensregeln: För en term av formen x^n blir derivatan nx^(n-1). I vårt fall är x^2 termen, så derivatan blir 2x^(2-1) = 2x.
  • Vi använder regeln för derivatan av en konstant: En konstant term, som -x i vårt fall, har derivatan 0.
  • Vi sätter ihop de två derivatorna: Vi får derivatan av f(x) genom att sätta ihop derivatan av x² och derivatan av -x.
  • Derivatan av x² är 2x och derivatan av -x är -1. Så derivatan av x² - x blir 2x - 1.
  • Således är derivatan av f(x) = x² - x + 1 lika med 2x - 1.
• För att hitta kritiska punkter, sätter vi f'(x) = 0 och löser ekvationen:
• 2x - 1 = 0
• 2x = 1
• x = 1/2
• Vi ser att den enda kritiska punkten ligger utanför intervallet 1 ≤ x ≤ 3, vilket betyder att vi inte har några extrempunkter inom intervallet.
• För att hitta de största och minsta värdena kan vi istället testa funktionens värden vid intervallets ändpunkter.
• För x = 1:
• f(1) = 1² - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
• För x = 3:
• f(3) = 3² - 3 + 1 = 9 - 3 + 1 = 7
• Vi ser att det minsta värdet är 1 och det största värdet är 7 inom intervallet 1 ≤ x ≤ 3.

• 5) Kurvan y = 2x - x² innesluter tillsammans med x-axeln ett område. Se figur. Beräkna triangelns maximala area. Svara exakt.

Svar

• För att beräkna triangelns maximala area, behöver vi hitta triangelns bas och höjd. Basen är avståndet mellan de två punkter där kurvan y = 2x - x² skär x-axeln. För att hitta dessa punkter, sätter vi y = 0 och löser ekvationen:
• 0 = 2x - x²
• Vi kan omformulera ekvationen till x² - 2x = 0 och faktorisera:
• x(x - 2) = 0
• Det ger oss två möjliga lösningar: x = 0 och x = 2.
• Nu behöver vi hitta höjden på triangeln. Höjden är avståndet mellan kurvan y = 2x - x² och x-axeln vid x = 1. För att hitta detta avstånd, sätter vi x = 1 i ekvationen för kurvan:
• y = 2(1) - (1)² = 2 - 1 = 1
• • För att beräkna triangelns maximala area, behöver vi hitta det största avståndet mellan kurvan y = 2x - x² och x-axeln. För att göra detta, måste vi hitta de x-värden där kurvan skär x-axeln.
  • I detta fall skär kurvan x-axeln vid x = 0 och x = 2, vilket innebär att dessa är de två punkterna där basen av triangeln är. För att hitta höjden på triangeln, behöver vi sedan hitta avståndet mellan kurvan och x-axeln vid något x-värde mellan 0 och 2.
  • Vi kan välja vilket som helst x-värde mellan 0 och 2 för att beräkna höjden. Jag valde x = 1 för att göra beräkningen enklare, men vi kan använda ett annat x-värde om vi vill.
• Så höjden på triangeln är 1.
• Nu kan vi beräkna triangelns area genom att använda formeln för arean av en triangel: A = (bas • höjd) / 2. I vårt fall blir det:
• A = (2 • 1) / 2 = 2 / 2 = 1
• Så triangelns maximala area är 1.

• 6) En andragradsfunktion f(x) = ax^2 + bx + c, där a > 0, har två nollställen, varav det ena är x = u. Dessutom vet man att derivatans nollställe är x = v. Skriv ett uttryck för arean hos den triangel som har sina hörn i de punkter där grafen skär x-axeln samt i funktionens minimipunkt. Uttrycket får innehålla a, b, c, u och v.

Svar

• För att hitta uttrycket för arean av triangeln som bildas av andragradsfunktionen f(x) = ax²+ bx + c, börjar vi med att hitta funktionens minimipunkt. Vi vet att en andragradsfunktions minimipunkt finns där dess första derivata är noll. Den första derivatan av f(x) är f'(x) = 2ax + b.
• När derivatan har ett nollställe vid x = v, sätter vi f'(v) = 0, vilket ger oss 2av + b = 0. Vi löser detta för v och får v = -b / (2a).
• Därefter sätter vi in detta v i funktionen för att hitta minimivärdet f(v):
• f(v) = a(v²) + bv + c
• f(v) = a(-b / (2a))²+ b(-b / (2a)) + c
• f(v) = (b² / (4a)) - (b²/ (2a)) + c
• f(v) = (-b²/ (4a)) + c
• Detta är höjden på triangeln. Nu behöver vi hitta basen, som är avståndet mellan de två x-värden där funktionen skär x-axeln. Eftersom vi vet att en av x-värdena är x = u och den andra kommer från att funktionen är noll, använder vi Viétas formler för att hitta det andra nollstället. Om vi känner till ett nollställe, x = u, är det andra nollstället x = -b/a - u baserat på summan av rötterna för en andragradsfunktion.

Viétas formler

• Viétas formler är en uppsättning ekvationer som relaterar koefficienterna i en polynomekvation till summan och produkten av dess rötter, särskilt användbara för andragradsekvationer. Formlerna namngavs efter François Viète, en fransk matematiker.
• Viétas formler ger sambandet mellan koefficienterna och rötterna i en andragradsekvation. För ekvationen ax² + bx + c = 0 säger de att:
  • Summan av rötterna: Summan av rötterna i en andragradsekvation ax² + bx + c = 0 är lika med -b/a.
  • Produkten av rötterna: Produkten av rötterna i samma ekvation är lika med c/a.
• Dessa formler används för att hitta rötternas egenskaper utan att direkt lösa ekvationen.
• Med dessa två nollställen kan vi beräkna basen som är avståndet mellan dem:
• Basen = |u - (-b/a - u)|
• Nu har vi allt vi behöver för att beräkna triangelns area. Vi använder formeln för arean av en triangel:
• A = 1/2 • Basen • Höjden
• Där höjden är f(v) och basen är avståndet mellan de två nollställena. Därmed blir arean:
• A = 1/2 • |u - (-b/a - u)| • ((-b^2 / (4a)) + c)
• Detta ger oss det sökta uttrycket för arean av triangeln i termer av de givna variablerna a, b, c, u, och v.

• Grafen visar andragradsfunktionen f(x) = ax² + bx + c och den triangel som bildas av kurvan och x-axeln. På grafen är nollställena markerade med gröna punkter vid x = u och vid det andra nollstället r, medan funktionens minimipunkt vid x = v är markerad med en röd punkt. Triangeln som bildas är tydligt skuggad mellan de två nollställena.