• Kära studenter,

  • Observera att de tillhandahållna lösningarna är bara ett sätt att närma sig dessa frågor. Vi uppmuntrar er att se dem som en inspirationskälla. Medan de kan vägleda er förståelse, rekommenderar vi starkt att ni utvecklar era egna svar.
    • Originellt tänkande förstärker inte bara ert lärande utan hjälper er även att odla problemlösningsförmågor som är avgörande i er akademiska resa.
  • Lycka till med lärandet!
    

    ---

  • 1) Om man släpper en sten från en högt belägen plats får stenen en hastighet: v(t) = 9.8 * t m/s under de första sekunderna av fallet. Beräkna den sträcka som stenen faller från: t = 0.5 s till t = 2.0 s. Svara i hela meter. Tips: Sträckan kan beräknas med en integral.

Svar

• För att integrera hastighetsfunktionen, v(t) = 9.8 • t, tar vi integralen av 9.8 • t med avseende på t. Detta ger oss sträckefunktionen, s(t).
• s(t) = (9.8/2) • t² + C
• Där C är en konstant som vi behöver bestämma. För att göra detta använder vi informationen att stenen släpps från en högt belägen plats. Vi kan anta att stenen släpps från vila, vilket innebär att vid t = 0 är sträckan s(0) = 0. Detta ger oss:
• s(0) = (9.8/2) • 0² + C
• 0 = C
• Således blir sträckefunktionen:
• s(t) = (9.8/2) • t²
• För att beräkna sträckan från t = 0.5 s till t = 2.0 s, tar vi skillnaden mellan sträckefunktionen vid t = 2.0 s och t = 0.5 s:
• s(2.0) - s(0.5) = (9.8/2) • (2.0²- 0.5²)
• s(2.0) - s(0.5) = (9.8/2) • (4 - 0.25)
• s(2.0) - s(0.5) = (9.8/2) • 3.75
• s(2.0) - s(0.5) = 18.375
• Så stenen faller en sträcka av 18.375 meter från t = 0.5 s till t = 2.0 s.

2) I figuren är kurvan y = 1000 * e^(-0.5x) ritad. Beräkna arean av det streckade området. Svara med fyra gällande siffror.

Svar

• För att beräkna arean av det streckade området under kurvan y = 1000 • e^(-0.5x), utför vi integrationen av funktionen från x = 0 till oändligheten. Detta gör vi genom att beräkna det bestämda integralen:
• Area = ∫ från 0 till oändligheten (∞) av (1000 • e^(-0.5x)) dx
• Vi löser denna integral och resultatet visar att:
• Area = -2000 • e^(-0.5x) | från 0 till ∞
• När vi utvärderar detta vid gränserna får vi:
• Are = (-2000 • e^(-0.5 • ∞)) - (-2000 • e^(-0.5 • 0))
• Detta förenklas till:
• Area = 0 - (-2000 • 1)
• Så arean av det streckade området är 2000 kvadratenheter. Om vi anger detta med fyra signifikanta siffror är svaret 2000.

• 3) Beräkna integralen från 0 till 1 av funktionen (x - x³/3 + x⁵/5) dx.

Svar

• För att beräkna integralen av funktionen x - x³/3 + x⁵/5 från 0 till 1, följer vi dessa steg:
• Vi Sätter upp integralen:
• Vi börjar med att notera integralen vi ska lösa:
• Integral från 0 till 1 av (x - x³/3 + x⁵/5) dx.
• Vi Integrera var och en av termerna:
• Vi integrerar varje term separat enligt potensregeln för integraler. Potensregeln säger att integralen av xⁿ är xⁿ⁺¹/(n+1) förutsatt att n inte är -1.
• Integralen av x blir x²/2.
• Integralen av -x³/3 blir -x⁴/12.
• Integralen av x⁵/5 blir x⁶/30.
• Efter att ha integrerat varje term blir den sammansatta funktionen x²/2 - x⁴/12 + x⁶/30.
• Vi Beräknar den bestämda integralen:
• Nu sätter vi in gränserna i den integrerade funktionen. Det innebär att vi sätter in det övre värdet (1) och subtraherar med det insatta värdet av det nedre gränsvärdet (0).
• När x = 1 blir den integrerade funktionen 1²/2 - 1⁴/12 + 1⁶/30.
• När x = 0 blir varje term 0 eftersom varje term innehåller x.
• Förenkla uttrycket:
• Nu förenklar vi uttrycket genom att beräkna varje term:
• 1/2 - 1/12 + 1/30.
• För att addera dessa bråk behöver vi en gemensam nämnare, som blir 60.
• Vi Omvandlar 1/2 till 30/60.
• Vi Omvandlar 1/12 till 5/60.
• Vi Omvandlar 1/30 till 2/60.
• Vi Adderar dessa får vi 30/60 - 5/60 + 2/60 vilket blir 27/60.
• Slutligt svar:
  • Vi förenklar 27/60 till dess enklaste form, vilket är 9/20 eller 0.45 som en decimal.
  • Arean under kurvan för den givna funktionen mellan x = 0 och x = 1 är alltså 0.45.

• ---

  4) Sannolikheten för att en elektronisk komponent ska gå sönder mellan tidpunkterna a timmar och b timmar ges av integralen
• ∫ från a till b f(x)dx
• Funktionen f(x) är den så kallade frekvensfunktionen som i detta fall är
• f(x) = { 0,001 • e^(-0,001x) om x ≥ 0
• f(x) = { 0 om x < 0
• Beräkna sannolikheten för att en sådan komponent ska gå sönder i intervallet från 0 till 500 timmar.

Svar         

• • Vi behöver förstå vad integralen representerar i detta sammanhang. Integralen av en funktion över ett intervall kan användas för att beräkna den ackumulerade "massan" under funktionens kurva inom det intervallet.
  • När det gäller sannolikheter, och speciellt i detta fall där det handlar om en elektronisk komponents livslängd, representerar funktionen f(x) sannolikhetsdensiteten för att komponenten ska gå sönder vid en viss tidpunkt x.
  • Därför ger integralen av denna funktion mellan två tidpunkter a timmar och b timmar oss sannolikheten för att komponenten går sönder inom detta tidsintervall.
•  För att beräkna sannolikheten att en elektronisk komponent går sönder mellan 0 och 500 timmar med hjälp av den givna frekvensfunktionen f(x) = 0.001 • e^(-0.001x) när x är större än eller lika med 0 (x ≥ 0), gör vi följande:
• Funktionen f(x) är en sannolikhetsdensitetsfunktion som visar hur sannolikheten för att komponenten ska gå sönder förändras över tiden.
• Vi Ställer upp integralen:
  • Vi ska beräkna integralen ∫ från 0 till 500 av 0.001 • e^(-0.001x) dx. Detta kommer att ge oss den totala sannolikheten för att komponenten går sönder inom tidsintervallet.
• Vi Hittar den obestämda integralen:
  • För att integrera 0.001 • e^(-0.001x), använder vi regeln att integralen av e^(ax) dx är (1/a)e^(ax). Så den obestämda integralen av vår funktion blir -e^(-0.001x).
• Vi Beräknar den bestämda integralen:
  • Vi sätter in våra gränser i den obestämda integralen för att få den bestämda integralen: [-e^(-0.001x)] från 0 till 500.
• Vi Beräknar och förenklar:
  • Eftersom e^⁰ är 1, blir -e^(-0.001 • 0) = -1. När x blir större kommer e^(-0.001 • x) att bli mycket liten, så e^(-0.001 • 500) är nästan 0.
• Slutligt svar:
• Vi beräknar -e^(-0.5) + 1. Med värdet av e^(-0.5) ungefär lika med 0.6065, blir uttrycket -0.6065 + 1, vilket är lika med 0.3935.
• Det innebär att sannolikheten för att komponenten ska gå sönder mellan 0 och 500 timmar är ungefär 0.3935 eller 39.35%.     
• ∫ från 0 till 500 av (0.001 * e^(-0.001x)) dx
• = [-e^(-0.001x)] från 0 till 500
• = [-e^(-0.5)] - [-e^(0)]
• = 1 - e^(-0.5)
• ≈ 1 - 0.6065
• ≈ 0.3935 eller 39.35%.

• 5) Bestäm den primitiva funktionen y = R(t) till funktionen r(t) = 0,06t³ - 0,0015t² för vilken R(2) = 3,6 * 10⁻².

Svar         

• En primitiv funktion till r(t) = 0,06t³ - 0,0015t² är R(t) = ∫r(t) dt = ∫(0,06t³ - 0,0015t²) dt = 0,015t⁴ - 0,0005t³ + C, där C är en konstant.
• För att hitta värdet på C, använder vi det givna värdet R(2) = 3,6 * 10⁻².
  • Så, 3,6 * 10⁻² = 0,015(2)⁴ - 0,0005(2)³ + C
  • => C = 3,6 * 10⁻² - (0,015(16) - 0,0005(8)
  • => C = 0,036 - (0,24 - 0,004)
  • => C = 0,036 - 0,236
  • => C = -0,2
  • Så, den primitiva funktionen R(t) = 0,015t⁴ - 0,0005t³ - 0,2.

• Beräkning av den primitiva funktionen: Den primitiva funktionen R(t) till en given funktion r(t) är en funktion vars derivata är r(t). I detta fall är r(t) = 0,06t³ - 0,0015t².
• När vi integrerar denna funktion får vi R(t) = 0,015t⁴ - 0,0005t³ + C. Vi delar koefficienterna 0,06 och 0,0015 med 4 och 3 respektive, eftersom när vi deriverar R(t), kommer vi att multiplicera dessa termer med deras exponenter enligt kedjeregeln.
• Beräkning av konstanten C: Vi vet att R(2) = 3,6 * 10⁻².
• Så vi sätter in t = 2 i den primitiva funktionen och löser ekvationen för C.
  • Först beräknar vi värdet av 0,015(2)⁴ = 0,015 * 16 = 0,24
  • Sedan beräknar vi värdet av 0,0005(2)³ = 0,0005 * 8 = 0,004
  • Sedan sätter vi in dessa värden i ekvationen:
  • C = 3,6 * 10⁻² - (0,24 - 0,004) = 0,036 - 0,236 = -0,2
• Slutligen, vi sätter in värdet på C i den primitiva funktionen. Detta ger oss den slutliga primitiva funktionen, R(t) = 0,015t⁴ - 0,0005t³ - 0,2.

• 6) Rita kurvorna y = x³ och y = 2x - x² i samma koordinatsystem. Kurvorna begränsar tillsammans två ändliga områden. Bestäm summan av de två områdenas areor.
• Integrationsgränserna skall bestämmas algebraiskt. Svara exakt.

• Svar     

• Grafen nedan visar kurvorna y = x³ (ljusgrön linje) och y = 2x - x² (mörkgrön linje) i samma koordinatsystem. De skärningspunkter jag hittade (x = -2, x = 0, och x = 1) är markerade med röda punkter. De skuggade områdena representerar de två områdena som begränsas av dessa kurvor, vars areor jag beräknade nedanför grafen.  

• För att hitta areorna av de två områdena som begränsas av kurvorna y = x³ och y = 2x - x², behöver vi först hitta skärningspunkterna (Nollställena) mellan dessa kurvor. Detta görs genom att lösa ekvationen x³ = 2x - x². Skärningspunkterna vi hittade är x = -2, x = 0, och x = 1.
  • När vi beräknar arean som begränsas av kurvor, är det viktigt att identifiera punkterna där kurvorna skär varandra, inte bara där de skär x-axeln.
  • "Nollställen" eller skärningspunkter är en term som används inom algebra och analys, för att beskriva de värden på en variabel (oftast x) där en funktion är lika med noll. Med andra ord, nollställen är de punkter där en graf korsar eller nuddar x-axeln.
  • I detta sammanhang, när vi talar om "nollställen" för uttrycket: x³ - 2x + x², menar vi faktiskt de punkter där detta uttryck är lika med noll, vilket indikerar var kurvan skär sig själv eller byter tecken.
  • Skärningspunkter eller nollställen är de punkter där funktionens värde är noll, vilket innebär att dess graf skär eller nuddar x-axeln vid dessa punkter.
•  Vi löser denna ekvation genom att ställa den lika med noll:
• x³ - 2x + x² = 0
• x³ + x² - 2x = 0
• x(x² + x - 2) = 0
• x(x - 1)(x + 2) = 0
• Detta ger oss lösningarna x = 0, x = 1 och x = -2.
• Nästa steg är att beräkna arean av de två områdena. Det finns två områden:
• Området mellan x = -2 och x = 0.
• Området mellan x = 0 och x = 1.
• För att lösa problemet med integralen av absolutbeloppet av |x³ - (2x - x²)| från -2 till 0 och från 0 till 1, följer vi dessa steg:
• Identifiering av Integralerna: Vi har två integraler, en från -2 till 0 och en annan från 0 till 1.

1. ∫[₋₂⁰] |x³ - (2x - x²)| dx
2. ∫[₀¹] |x³ - (2x - x²)| dx

• Arean beräknas genom att integrera den absoluta skillnaden mellan kurvorna över dessa intervall. Arean är summan av följande integraler:
• Area = ∫[₋₂⁰] |x³ - (2x - x²)| dx + ∫[₀¹] |x³ - (2x - x²)| dx
• Beräkning av Integralerna
• Första Integralen: Integralen från -2 till 0 av |x³ - 2x + x²| dx.
• Eftersom uttrycket x³ - 2x + x² är negativt i detta intervall, beräknar vi integralen av -(x³ - 2x + x²) från -2 till 0. Resultatet blir -8/3.
• Andra Integralen: Integralen från 0 till 1 av |x³ - 2x + x²| dx.
• Här är uttrycket x³ - 2x + x² positivt, så vi beräknar integralen av x³ - 2x + x² från 0 till 1. Resultatet blir -5/12.
• Slutresultat
  • För att få det slutliga svaret adderar vi de absoluta värdena av dessa två integraler:
  • | -8/3 | + | -5/12 | = 8/3 + 5/12
  • När vi beräknar detta får vi 37/12, vilket är 3.0833̅3̅^*... i decimalform.
  • Så, arean under kurvan x³ - 2x + x² mellan -2 och 1, med hänsyn till absolutbeloppet av funktionen, är ungefär 3.0833.
  • Vid beräkning blir det totala värdet för dessa areor 3,0833̅3̅.
  • * Vinculum-tecknet, även känt som en överstreckning ” ett streck över en rad med siffror eller bokstäver, används för att indikera att dessa tecken ska behandlas som en enhet.”, används för att gruppera siffror eller bokstäver som en enhet, särskilt i matematik för att representera upprepade decimaler, som i 3,0833̅3̅, och göra det enklare att hantera oändliga sekvenser.