• Kära studenter,

  • Observera att de tillhandahållna lösningarna är bara ett sätt att närma sig dessa frågor. Vi uppmuntrar er att se dem som en inspirationskälla. Medan de kan vägleda er förståelse, rekommenderar vi starkt att ni utvecklar era egna svar.
    • Originellt tänkande förstärker inte bara ert lärande utan hjälper er även att odla problemlösningsförmågor som är avgörande i er akademiska resa.
  • Lycka till med lärandet!
    

    ---

  • Linjär optimering och geometrisk summa

  
  

  • 1) Beräkna den geometriska summan.

  • 1200 + 1200 × 1,03 + 1200 × 1,03² + ... + 1200 × 1,03¹⁹.
  • Formulera ett problem som handlar om en verklig situation. Problemet ska kunna lösas med hjälp av att beräkna denna geometriska summa.

• 1) Beräkna den geometriska summan.
• Svar
• Vi behöver förstå grunderna i geometriska summor och hur de appliceras i detta fall för att lösa problemet med att beräkna den geometriska summan 1200 + 1200 × 1,03 + 1200 × 1,03² + ... + 1200 × 1,03¹⁹.
• Steg 1: Vi identifierar elementen i serien. I denna serie är varje term en produkt av 1200 och 1,03 upphöjt till ett exponentvärde. Det exponentvärde som används är termens position minus 1. Till exempel är exponentvärdet för första termen 1,03⁰ (eftersom något upphöjt till 0 är 1), för andra termen är det 1,03¹, och så vidare.
• Steg 2: Vi känner igen serien som geometrisk. Denna serie är en geometrisk serie eftersom varje term erhålls genom att multiplicera den föregående termen med en konstant faktor, i detta fall 1,03.
• Steg 3: Vi beräknar summan. Formeln för summan av en geometrisk serie är:
• S = a(1 - rⁿ) / (1 - r)
• där:
  • S är summan av serien.
  • a är det första termen i serien (1200 i detta fall).
  • r är den gemensamma kvoten mellan termerna (1,03 här).
  • n är antalet termer i serien  (20 termer här, eftersom vi räknar från 0 till 19).
  • Vi sätter nu in våra värden i formeln:
  • S = 1200(1 - 1,03²⁰) / (1 - 1,03)
• Summan av den geometriska serien är ungefär 32,244.45.
• Användning i en verklig situation: Vi formulerar ett realistiskt problem som kan lösas med denna geometriska summa.
• Problem: En Individ startar en sparplan där individen sätter in 1200 kronor varje år på ett sparkonto. Räntan på kontot är 3% årligen, och räntan läggs till kapitalet (så kallad ränta-på-ränta-effekt). Hur mycket pengar kommer individen att ha på kontot efter 20 år?
• Lösning: Detta är exakt situationen som beskrivs av vår geometriska serie. Varje term representerar kontots värde vid slutet av varje år, med hänsyn till de årliga insättningarna och den ackumulerade räntan. Så, efter 20 år kommer individen att ha ungefär 32,244.45 kronor på sitt sparkonto.
• Detta exempel visar hur geometriska summor kan användas för att planera och förutse ekonomiska mål, speciellt i situationer som involverar regelbundna insättningar och ränta-på-ränta-effekter.

2) Amandas mamma har varje år satt in 2000 kr av Amandas barnbidrag i en sparfond. Hon började när Amanda fyllde 2 år och gjorde sista inbetalningen på Amandas 13-årsdag. Fondens ränta är hela tiden 3,1 %.

• a) Hur många inbetalningar gjorde Amandas mamma?
• b) Vad är värdet av sparfonden efter den sista inbetalningen?
• c) Om Amanda istället fått en klumpsumma insatt på kontot, hur stor skulle den ha varit om räntan hela tiden varit 3,1 %.
• d) Om man hade satt in 2000 kr på ett konto med 3.1% ränta hur många år hade det tagit innan hon hade fått ihop samma belopp (bortse från penningsvärdesförändringar).

• 2) Amandas mamma har varje år satt in 2000 kr av Amandas barnbidrag i en sparfond. Hon började när Amanda fyllde 2 år och gjorde sista inbetalningen på Amandas 13-årsdag. Fondens ränta är hela tiden 3,1 %.
• Hur många inbetalningar gjorde Amandas mamma?
• Vad är värdet av sparfonden efter den sista inbetalningen?
• Om Amanda istället fått en klumpsumma insatt på kontot, hur stor skulle den ha varit om räntan hela tiden varit 3,1 %.
• Om man hade satt in 2000 kr på ett konto med 3.1% ränta hur många år hade det tagit innan hon hade fått ihop samma belopp (bortse från penningsvärdesförändringar).
• Svar
• a) Antal Inbetalningar
• Amandas mamma började sätta in pengar när Amanda var 2 år och slutade på hennes 13-årsdag. För att räkna ut antalet inbetalningar, subtraherar vi startåldern från slutåldern och lägger till 1 (eftersom både start- och slutåret inkluderas):
• Antal inbetalningar = (13 - 2) + 1 = 12

• ---

  b) Värdet av Sparfonden
• För att beräkna värdet av sparfonden efter den sista inbetalningen, använder vi formeln för framtida värde av en serie inbetalningar (en annuitet). Formeln är:
• FV = P * ((1 + r)^n - 1) / r
• I ekvationen "FV = P * ((1 + r)^n - 1) / r", står varje förkortning för följande på engelska:
• FV: Future Value - Det framtida värdet av investeringen eller sparandet.
• P: Payment - Det regelbundna betalnings- eller inbetalningsbeloppet.
• r: Rate - Den årliga räntesatsen (uttryckt som en decimal).
• n: Number of Periods - Antalet perioder som pengarna investeras eller sparas, ofta uttryckt i år.
• Där FV är det framtida värdet av investeringen, P är det årliga inbetalningsbeloppet (2000 kr), r är den årliga räntan (3,1% eller 0,031) och n är antalet år pengarna har investerats.
• P = 2000 kr (årlig inbetalning)
• r = 3,1% = 0,031 (årlig ränta)
• n = 12 år
• Så vi beräknar:
• FV = 2000 * ((1 + 0.031)^12 - 1) / 0.031 = 28,545.85 kr

• ---

  c) Klumpsumma
• Om Amanda istället hade fått en klumpsumma insatt på kontot från början, skulle vi använda formeln för framtida värde av en engångsinvestering:
• FV = P * (1 + r)^n
• där P är klumpsumman, r är räntan och n är antalet år.
• Vi vet att FV = 28,545.85 kr, r = 0,031 och n = 12. Vi löser denna ekvation för P (klumpsumman):
• P = 28,545.85 / (1 + 0.031)^12 = 19,789.69 kr

• ---

  d) Tid för att Uppnå Samma Belopp med Enskild Insättning
• Om vi antar att samma belopp som uppnåddes i del b) skulle uppnås med en engångsinvestering på 2000 kr, kan vi använda formeln för framtida värde och lösa för n:
• 28,545.85 = 2000 * (1 + 0.031)^n
• Vi löser denna ekvation för n:
• n = log(28,545.85 / 2000) / log(1 + 0.031) ≈ 87 år
• Så, det skulle ta ungefär 87 år för en engångsinvestering på 2000 kr att växa till 28,545.85 kr med en årlig ränta på 3,1%.

---

Hur Löser Vi Ekvationen 28,545.85 = 2000 * (1 + 0.031)^n för att Beräkna Antalet År, n?
• Vi startar med den ursprungliga ekvationen:
• Vi börjar med ekvationen 28,545.85 = 2000 * (1 + 0.031)^n.
• Vi isolerar termen med n:
• För att isolera termen med n, delar vi först båda sidor av ekvationen med 2000. Detta ger oss ekvationen 28,545.85 / 2000 = (1 + 0.031)^n.
• Vi använder logaritmer för att lösa för n:
• Eftersom n är en exponent, använder vi logaritmer för att lösa för n. Vi kan använda vilken logaritmbas som helst, men oftast använder vi antingen den naturliga logaritmen (ln) eller bas 10-logaritmen (log). Här använder vi den naturliga logaritmen, vilket ger oss ln(28,545.85 / 2000) = ln((1 + 0.031)^n).
• Vi använder logaritmregeln ln(a^b) = b ln(a):
• Denna regel låter oss flytta exponenten n framför logaritmen. Så vi får ln(28,545.85 / 2000) = n ln(1 + 0.031).
• Vi löser ut n:
• För att få n ensamt, delar vi båda sidor av ekvationen med ln(1 + 0.031). Detta ger oss n = ln(28,545.85 / 2000) / ln(1 + 0.031).
• Vi beräknar värdet:
• Slutligen, beräknar vi värdet av n genom att sätta in värdena i en kalkylator eller använda en matematikprogramvara. Detta ger oss n ungefär lika med 87 år.
• Detta är den detaljerade processen vi följer för att lösa ekvationen för n och komma fram till att det skulle ta ungefär 87 år för en engångsinvestering på 2000 kr att växa till 28,545.85 kr med en årlig ränta på 3,1%.
• Varför det tar 87 år:
• Amandas sparande: I detta fall gör Amandas mamma årliga insättningar på 2000 kr och dessa insättningar ackumuleras och växer över tid tack vare räntan på 3,1%. Efter 12 år, när den sista insättningen görs, har kapitalet vuxit till ungefär 28,545.85 kr.
• Enskild insättning: Om vi istället överväger en enskild insättning på 2000 kr, skulle detta initiala belopp börja växa med samma ränta på 3,1%. För att uppnå samma belopp som Amandas sparande (28,545.85 kr) skulle det ta betydligt längre tid, eftersom det inte finns några ytterligare insättningar för att accelerera ackumuleringen.
• Det tar därför 87 år för den enskilda insättningen på 2000 kr att växa till 28,545.85 kr genom ränta på ränta-effekten. Detta är en effekt av att ränta på ränta fungerar snabbare och mer kraftfullt när det finns regelbundna insättningar (som i Amandas sparande) jämfört med en enskild initial insättning. Ju längre tid pengarna har på sig att växa, desto mer påverkar ränta på ränta-effekten det ackumulerade beloppet.

• 3) Tommy satte i början av varje år in 1200 kronor på ett bankkonto där räntesatsen var 7,5%. Första insättningen var 1967 och den sista 1989. Hur mycket pengar fanns det på kontot i slutet av 1993?  Avrunda svaret till hela kronor

• 3) Tommy satte i början av varje år in 1200 kronor på ett bankkonto där räntesatsen var 7,5%. Första insättningen var 1967 och den sista 1989. Hur mycket pengar fanns det på kontot i slutet av 1993?  Avrunda svaret till hela kronor

• Svar

• Snabb genomgång:
  • 1200 * ((1 + 0.075)²³ - 1) / 0.075 = 68,433.47
  • 68,433.47 * (1 + 0.075)⁴ = 91,390.79
  • Avrundat: 91,391 kr
• Steg för steg förklaring
• Vi följer dessa steg för att lösa problemet med hur mycket pengar Tommy hade på sitt bankkonto i slutet av 1993:
• Vi beräknar det ackumulerade värdet vid slutet av 1989:
• Vi börjar med att Tommy satte in 1200 kronor varje år från 1967 till 1989. Detta innebär att han gjorde inbetalningar under 1989 - 1967 + 1 = 23 år.
• Varför Adderar Vi 1 När Vi Beräknar Antalet År Mellan 1967 och 1989?
• För att få det totala antalet år inklusive både start- och slutåret, adderar vi 1. Om vi inte lägger till 1, skulle vi bara räkna antalet år som passerat mellan början av det första året och början av det sista året, vilket skulle utesluta det sista året från beräkningen.
• Vi använder formeln för framtida värde av en annuitet för att beräkna det ackumulerade värdet vid slutet av 1989:
• FV = P * ((1 + r)ⁿ - 1) / r
• FV är det framtida värdet av investeringen.
• P är det årliga inbetalningsbeloppet (1200 kr).
• r är den årliga räntan (7,5% eller 0,075).
• n är antalet år pengarna har investerats vilket är 23 år.
• där P är det årliga inbetalningsbeloppet (1200 kr), r är den årliga räntan (7,5% eller 0,075) och n är antalet år pengarna har investerats (23 år). Så vi beräknar:
• FV_1989 = 1200 * ((1 + 0.075)²³ - 1) / 0.075
• Detta ger oss ett värde av 68,433.47 kr.

Vi beräknar det slutliga värdet vid slutet av 1993:

• Nu ska vi beräkna hur mycket detta belopp har vuxit från slutet av 1989 till slutet av 1993, en period på 4 år, utan ytterligare inbetalningar. Vi använder formeln för framtida värde av en engångsinvestering:
• FV = PV * (1 + r)ⁿ
• FV är det framtida värdet vid slutet av 1993.
• PV är det nuvarande värdet (68,433.47 kr vid slutet av 1989).
• r är den årliga räntan (7,5% eller 0,075).
• n är antalet år från 1989 till 1993, vilket är 4 år.
• där PV är det nuvarande värdet (68,433.47 kr vid slutet av 1989), r är den årliga räntan (7,5% eller 0,075) och n är antalet år från 1989 till 1993 (4 år). Så vi beräknar:
• FV_1993 = 68433.47 * (1 + 0.075)⁴
• Detta ger oss ett värde av 91,390.79 kr.
• Vi avrundar till hela kronor:
• Vi avrundar det slutliga värdet till hela kronor, vilket ger oss 91,391 kr.
• Så, i slutet av 1993 hade Tommy 91,391 kronor på sitt bankkonto.

• 4) I en teaffär blandar man två olika sorters te för att få en ny smak. Den ena sorten kostar 135 kr/kg och den andra kostar 168 kr/kg. Hur stora andelar har man tagit om blandningen kostar 150 kr/kg?

• 4) I en teaffär blandar man två olika sorters te för att få en ny smak. Den ena sorten kostar 135 kr/kg och den andra kostar 168 kr/kg. Hur stora andelar har man tagit om blandningen kostar 150 kr/kg?
• Svar

• För att lösa problemet med att blanda två olika sorters te för att få en ny smak som kostar 150 kr/kg, använder vi ett system av linjära ekvationer för att lösa problemet med att blanda två sorters te och uppnå ett specifikt pris. Ekvationerna hjälper oss att hitta de korrekta andelarna av de två teerna som behövs för att skapa blandningen till det önskade priset.
• Linjär optimering skulle vara relevant om vi försökte minimera kostnaden för blandningen med vissa begränsningar eller maximera vinsten från försäljningen av blandningen.
• I detta fall var vårt mål att hitta andelarna av de två sorterna te för att uppnå ett specifikt pris för blandningen.

Vi definierar variablerna:

• x är andelen av te som kostar 135 kr/kg.
• y är andelen av te som kostar 168 kr/kg.

Vi ställer upp två ekvationer baserade på informationen vi har:

• Kostnadsekvationen: 135x + 168y = 150. Detta representerar den totala kostnaden per kg för blandningen.
• Andelsekvationen: x + y = 1. Detta representerar att summan av andelarna x och y måste vara 1 (eller 100%), eftersom de tillsammans utgör hela blandningen.
• Vi löser ekvationssystemet: Vi använder metoder för att lösa ekvationssystem för att hitta värdena på x och y. När vi löser ekvationerna får vi x = 6/11 och y = 5/11.
• Här löser vi ekvationssystemet bestående av ekvationerna 135x + 168y = 150 och x + y = 1, följer vi dessa steg:
  • Snabb genomgång:
  • 135x + 168y = 150
  • x + y = 1
  • x = 1 - y
  • Ersätter x i ekvation 1: 135(1 - y) + 168y = 15
  • Förenklar: 135 - 135y + 168y = 150
  • Förenklas till: 33y = 15
  • Löser för y: y = 15 / 33 = 5/11
  • Ersätter y i ekvation 2: x + 5/11 = 1
  • Löser för x: x = 1 - 5/11 = 6/11
  • Steg för steg förklaring
• Vi ställer upp ekvationssystemet:
• Vi har den första ekvationen: 135x + 168y = 150
• Och den andra ekvationen: x + y = 1
• Nu löser vi ut en av variablerna från en av ekvationerna:
• Från den andra ekvationen (x + y = 1), löser vi ut x:
• x = 1 - y
• Därefter ersätter vi den utlösta variabeln i den andra ekvationen:
• Vi ersätter x i den första ekvationen (135x + 168y = 150) med uttrycket vi fick för x (1 - y):
• 135(1 - y) + 168y = 150
• För att förenkla och lösa den resulterande ekvationen:
• Vi förenklar ekvationen: 135 - 135y + 168y = 150
• Detta förenklas till: 33y = 15
• Nu löser vi för y: y = 15 / 33 = 5/11
• Därefter ersätter vi det funna värdet av y i en av de ursprungliga ekvationerna:
• Vi sätter in y = 5/11 i x + y = 1:
• x + 5/11 = 1
• Sedan löser vi för x:
• Vi löser ekvationen: x = 1 - 5/11
• x = 6/11
• Så, lösningen på ekvationssystemet är x = 6/11 och y = 5/11.

Vi tolkar lösningen:

• Andelen av te som kostar 135 kr/kg (x) är 6/11 av blandningen består av det billigare teet vilket är ungefär 54.55%.
• Andelen av te som kostar 168 kr/kg (y) är 5/11 av blandningen består av det dyrare teet, vilket är ungefär 45.45%.
• Så, för att få en blandning som kostar 150 kr/kg, ska man blanda dessa två tesorter i förhållandet 6:5.
• Detta förhållande (6:5) säkerställer att den genomsnittliga kostnaden per kg för den slutliga blandningen blir exakt 150 kr/kg.
• Om vi tänker på det som delar av en helhet, så tar det billigare teet upp 6 delar av totalt 11, medan det dyrare teet tar upp de återstående 5 delarna. Denna proportion balanserar precis de olika kostnaderna för att uppnå det önskade genomsnittspriset.

• 5) En boll släpps från 2,0 meters höjd mot ett golv. Efter varje studs når bollen upp till 2/3 av föregående höjd. Hur lång sträcka har bollen ”färdats” när den studsar för tolfte gången?

• 5) En boll släpps från 2,0 meters höjd mot ett golv. Efter varje studs når bollen upp till 2/3 av föregående höjd. Hur lång sträcka har bollen ”färdats” när den studsar för tolfte gången?

Svar

• Snabb genomgång:
  • 2,0 * (1 - (2/3)²³) / (1 - 2/3)
  • = 2,0 * (1 - 0.000035) / (1/3)
  • = 2,0 * 0.999965 / 0.333333
  • = 2,0 * 2.999895
  • ≈ 6,0 meter
• Steg för steg förklaing
• För att beräkna sträckan som bollen har färdats när den studsar för tolfte gången, följer vi dessa steg:
• Vi använder formeln för summan av en geometrisk serie:
• S = a * (1 - rⁿ) / (1 - r)
• Där S är summan, a är första termen, r är kvoten mellan varje term och n är antalet termer.
• I detta fall är a = 2,0 meter (första nedåtgående sträckan), r = 2/3 (kvoten mellan varje term) och n = 23 (eftersom varje studs efter den första består av två rörelser, uppåt och nedåt, vilket ger oss 2 * 12 - 1 = 23 termer).

Vi sätter in dessa värden i formeln:

• • S = 2,0 * (1 - (2/3)²³) / (1 - 2/3)
  • Vi beräknar (2/3)²³:
  • (2/3)²³ ≈ 0.000035
  • Vi sätter in detta värde i formeln:
  • S = 2,0 * (1 - 0.000035) / (1/3)
  • Vi förenklar uttrycket:
  • S = 2,0 * 0.999965 / 0.333333
  • Vi multiplicerar och förenklar vidare:
  • S = 2,0 * 2.999895
  • Slutligen får vi:
  • S ≈ 6,0 meter
  • Så, bollen har färdats ungefär 6,0 meter när den studsar för tolfte gången.

• 6) En fyrhörning i ett koordinatsystem har hörnen (–3; 4) , (0; 8), (0; –2) och (8; 3).
  Ange det system av olikheter som svarar mot det område som begränsas av fyrhörningen. Observera att fyrhörningens sidor ingår i området.

• 6) En fyrhörning i ett koordinatsystem har hörnen (–3; 4) , (0; 8), (0; –2) och (8; 3).
  Ange det system av olikheter som svarar mot det område som begränsas av fyrhörningen. Observera att fyrhörningens sidor ingår i området.

Svar

• Snabb genomgång
• y ≤ 1.333x + 8.0, Detta motsvarar linjen som förbinder punkterna (-3, 4) och (0, 8).
• x ≥ 0: Detta motsvarar x-axeln och innebär att området begränsas till höger om y-axeln.
• y ≥ 0.625x - 2.0: Detta motsvarar linjen som förbinder punkterna (0, -2) och (8, 3).
• y ≤ 3.727 - 0.0909x: Detta motsvarar linjen som förbinder punkterna (8, 3) och (-3, 4).
  • Linje 1 (Blå linje)
  • Ekvation för linje 1: y = 1.333x + 8.0
  • Olikhet 1: y ≤ 1.333x + 8.0
  • Linje 2 (Grön linje)
  • Ekvation för linje 2: x = 0
  • Olikhet 3: x ≥ 0
  • Linje 3 (Gul linje)
  • Ekvation för linje 3: y = 0.625x - 2.0
  • Olikhet 2: y ≥ 0.625x - 2.0
  • Linje 4 (Röd linje)
  • Ekvation för linje 4: y = 3.727 - 0.0909x
  • Olikhet 4: y ≤ 3.727 - 0.0909x
  • Olikheterna är:
    • Olikhet 1: y ≤ 1.333x + 8.0 (Blå linje)
    • Olikhet 2: y ≥ 0.625x - 2.0 (Gul linje)
    • Olikhet 3: x ≥ 0 (Grön linje)
    • Olikhet 4: y ≤ 3.727 - 0.0909x (Röd linje)

• ---

  Steg för steg förklaring

• För att bestämma det system av olikheter som representerar området begränsat av fyrhörningen med hörnen (–3, 4), (0, 8), (0, –2) och (8, 3), följer vi dessa steg:
• Vi börjar med att hitta ekvationerna för linjerna som bildar fyrhörningens sidor.
• För linjen mellan (–3, 4) och (0, 8), beräknar vi lutningen m som (8 - 4) / (0 - (-3)) = 4/3. Vi använder Punktlutningsform för en linjes ekvation, y - y1 = m(x - x1),
• och får y - 4 = 4/3(x + 3).
  • Detta förenklas till y = 1.333x + 8.0.
• För linjen mellan (0, 8) och (0, –2), är det en vertikal linje, så dess ekvation är x = 0.
• För linjen mellan (0, –2) och (8, 3), beräknar vi lutningen m som (3 - (-2)) / (8 - 0) = 5/8.
  • Lutningsformeln:
  • Lutning (m) = (Förändring i y)/(Förändring i x)
  • m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
  • (3 - (-2)) / (8 - 0) = 5/8.
• Vi använder Punktlutningsformen och får y + 2 = 5/8(x - 0), vilket förenklas till y = 0.625x - 2.0.
• För linjen mellan (8, 3) och (–3, 4), beräknar vi lutningen m som (4 - 3) / (-3 - 8) = -1/11.
  • Lutningsformeln:
  • Lutning (m) = (Förändring i y)/(Förändring i x)
  • m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
  • (4 - 3) / (-3 - 8) = -1/11.
• Vi använder Punktlutningsformen och får y - 3 = -1/11(x - 8), vilket förenklas till y = 3.727 - 0.0909x.
  • Punktlutningsform y – y₁ = m(x – x₁)
  • Ett kraftfullt verktyg för att skriva ekvationer för räta linjer när du känner till en punkt på linjen och dess lutning. Det härleder från punktlutningsformeln:
  • y – y₁ = m(x – x₁)
  • y och x representerar koordinaterna för punkten på linjen.
  • y₁ och x₁ är koordinaterna för den kända punkten på linjen.
  • m är lutningen (slope) för linjen.
• Nu omvandlar vi dessa linjers ekvationer till olikheter som representerar området inuti fyrhörningen. Vi antar att fyrhörningen ligger på följande sidor av linjerna:
• För linjen y = 1.333x + 8.0, ligger fyrhörningen under linjen, så olikheten blir y ≤ 1.333x + 8.0.
• För linjen x = 0, ligger fyrhörningen till höger om linjen, så olikheten blir x ≥ 0.
• För linjen y = 0.625x - 2.0, ligger fyrhörningen över linjen, så olikheten blir y ≥ 0.625x - 2.0.
• För linjen y = 3.727 - 0.0909x, ligger fyrhörningen under linjen, så olikheten blir y ≤ 3.727 - 0.0909x.
• Det system av olikheter som representerar området begränsat av fyrhörningen är:
• y ≤ 1.333x + 8.0
• x ≥ 0
• y ≥ 0.625x - 2.0
• y ≤ 3.727 - 0.0909x
• Vi skapar en graf för att visualisera området. På grafen visas linjerna och det skuggade området representerar det område som definieras av de angivna olikheterna.
• Nedan ligger en graf som illustrerar det område som begränsas av fyrhörningen med hörnen (–3, 4), (0, 8), (0, –2) och (8, 3).
• De fyra olikheterna som representerar detta område är:
  • Olikhet 1: y ≤ 1.333x + 8.0 (Blå linje)
  • Olikhet 2: y ≥ 0.625x - 2.0 (Gul linje)
  • Olikhet 3: x ≥ 0 (Grön linje)
  • Olikhet 4: y ≤ 3.727 - 0.0909x (Röd linje)

  Grafen illustrerar det område som begränsas av fyrhörningen med hörnen (–3, 4), (0, 8), (0, –2) och (8, 3).